Глеб Перя́зев родился в Иркутске. Брал частные уроки вокала у Николая Прошина. В 2018 году получил степень магистра в Российском государственном педагогическом университете им. А. И. Герцена. В 2022-м окончил ассистентуру-стажировку Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова (класс Владимира Ванеева).
Стажировался в Международной академии музыки Елены Образцовой под художественным руководством Ильдара Абдразакова (2015−2017). Участник молодежной оперной программы Зальцбургского фестиваля (2017). Стипендиат молодежной оперной программы Аткинс в Мариинском театре (2021).
С 2016 года выступает на сцене Мариинского театра. За время работы исполнил более пятидесяти партий, включая ведущие роли: титульные партии в «Борисе Годунове», «Демоне», «Князе Игоре», «Дон Жуане», Фигаро в «Свадьбе Фигаро», Руслан («Руслан и Людмила»), король Рене («Иоланта»), дон Руй Гомес де Сильва («Эрнани»), Эскамильо («Кармен»), Линдорф, Коппелиус, доктор Миракль и Дапертутто («Сказки Гофмана») и др. С 2024 года также исполняет ведущие партии оперного репертуара на сцене Большого театра России.
Выступает на мировых площадках: на Зальцбургском фестивале (Австрия, 2017−2019), в Гамбургской государственной опере (Германия, 2017), Национальной опере Греции (2017), концертном зале Брукнерхаус (Австрия, 2018), Баден-Баденском фестшпильхаусе (Германия, 2018, 2019), Национальном театре Сан-Карлуш (Португалия, 2018), Театре Аминторе Галли (Италия, 2018), пекинском Национальном центре исполнительских искусств и нанкинском Большом театре Цзянсу (Китай, 2019), Парижской филармонии (Франция, 2019), Театре Хуареса (Мексика, 2021), Большом театре им. Алишера Навои (Узбекистан, 2024), Королевском оперном театре Маската (Оман, 2025), Концертном зале Сан-Паулу (Бразилия, 2025).
Также активно гастролирует в регионах России: в Театрах оперы и балета им. И. М. Яушева (Саранск), Республики Коми (Сыктывкар) и Республики Саха (Якутия), Красноярском и Астраханском театрах оперы и балета, Большом концертном зале им. Салиха Сайдашева (Казань), Национальном театре Карелии (Петрозаводск), Иркутском областном музыкальном театре им. Н. М. Загурского, Органном зале (Набережные Челны), парке науки и искусства «Сириус» (Краснодарский край), Смоленской, Тверской, Томской и Тульской областных, Белгородской, Воронежской и Нижегородской филармониях.
Преподает на кафедре сольного пения Санкт-Петербургской консерватории.
С 2022 года — член молодежного совета Министерства культуры Российской Федерации.